本篇翻译笔记针对的是这篇论文：
L.Zhao,G.-J.Wang,M.Wang,W.Bao,W.Li,andH.E.Stanley,“Stockmarketastemporalnetwork,”PhysicaA:StatisticalMechanicsanditsApplications,vol.,pp.–,Sep.,doi:10./j.physa..05..
重点、摘要和引言
重点
-利用时间网络表示法对时间演变的股票市场进行了分析。
-时间中心性已被用作投资组合选择工具。
-表现良好的投资组合证明了时间中心性测量的有效性。
摘要
金融网络在描述复杂金融系统的结构方面已经变得极为有用。同时，股票市场的时间演化特性可以用时间网络来描述。我们利用时间网络框架来表征股票市场基于时间演化的相关网络。通过金融网络拓扑结构的演化，可以发现市场的不稳定性。然后，我们采用时间中心性作为组合选择工具。那些由外围股票组成的投资组合，其时间中心性得分较低，在不同的投资组合优化框架下都有持续较好的表现，说明时间中心性测度可以作为新的投资组合优化和风险管理工具。我们的结果揭示了股票市场时间属性的重要性，在实际应用中应该认真考虑。
引言
基于相关性的网络已经成为研究复杂金融系统相关性的有效工具[1,2]。目前已经提出了不同的方法来探究金融系统的复杂相关性结构，包括阈值法、最小跨度树(MST)[3]、平面最大滤波图(PMFG)[4]以及其他一系列方法[5-11]。所有基于相关性的网络的共同目的是寻求复杂金融系统的高维相关性矩阵的稀疏表示。与其他基于特征向量的方法（如主成分分析）将系统的方差分解为几个维度不同，基于相关性的方法直接将密集的相关矩阵映射为稀疏表示。这些方法的简单实现和直接解释使其在复杂系统分析中相当受欢迎，特别是对于复杂的金融系统。
最近，基于相关性的网络被用于投资组合的选择，其中基于股票收益时间序列的MST和PMFG网络的混合中心性测度来构建一些风险分散的投资组合[12]。众所周知，金融系统有其自身的时间属性，这使得它极难甚至无法预测。因此，如果我们想以一种恰当的方式构建我们的投资组合，就必须考虑金融系统的时间属性。
在这项工作中，我们利用时间网络的方法研究了股票市场基于相关性的网络。具体来说，我们分析了世界三大股票市场，即美国、英国和中国的时间演变。基于时间网络的中心性度量，我们还构建了一些在两种投资组合优化框架下持续表现最好的投资组合。我们的工作是第一个将时空网络方法纳入复杂金融系统研究的研究。通过拓扑结构的时空演化，可以获取市场不稳定的信息。时空中心性测度在投资组合选择中的有效性，描绘了时空结构对股市分析的重要性。本文的其余部分组织如下。第2节给出了数据描述和我们通过本文使用的方法。第3节介绍了本文的主要结果，包括股票市场的拓扑分析和在投资组合优化问题上的应用。第4节给出了我们的结论。
数据和方法
数据
我们的数据集包括世界三大指数的构成股票的每日回报。标准普尔指数（美国）、富时指数（英国）和上证指数（中国）。剔除样本量很小的股票后，三个市场的股票数量分别为、和只。在标普数据集中，每只股票包括年1月4日至年12月31日的个日收益。富时股票包括年10月10日至年4月26日期间的个日收益。上证股票包括年5月21日至年11月19日期间的个日回报率。
股票之间的交叉关联性
每日股票的数据是通过复权的日收盘价的对数收益率体现的，边之间的权重是Pearsoncoefficient。
通过滑动窗口计算一段时间内的相关性矩阵：
股市的PMFG网络
由于交叉相关矩阵给出的密集表示方式会诱发大量的冗余信息，因此很难从噪声中分辨出重要信息，因此我们采用平面最大化滤波图(PMFG)方法[4]构建稀疏网络。这里我们采用平面最大化滤波图(PMFG)方法[4]来构建基于相关矩阵Ct,?的稀疏网络。
该算法实现如下：
(i)将所有的ρijt,?按降序排列在一个有序列表lsort中。
(ii)按照lsort中的顺序在节点i和j之间添加一条边，当且仅当该边添加后图仍然是平面的。
(iii)重复第二步，直到lsort中的所有元素都用完为止。
最后形成一个具有Ne=3(N-2)条边的平面图Gt,?。
在Ref.[4]中提到，PMFG保留了MST的层次组织，而且它还能诱导出clique。然后我们计算出聚类系数C和最短路径长度L等基本拓扑量[13]。
时变股票网络的超演化矩阵
我们使用移动窗口技术来构建时变相关矩阵和PMFG网络。考虑到股票市场的时间特性，用单一的邻接矩阵不可能完全描述整个系统。以往的研究试图通过将时间网络聚合成静态网络来解决这个问题[16]。然而，这种方法的明显缺点是缺少系统的时间演化信息。最近，关于时态网络和多层网络的研究已经成为网络科学的新前沿[17-19]。多层网络的数学公式为我们提供了一种统一描述时空网络结构的可能方法。由于时空网络与多层网络的唯一区别是两层之间的耦合方向。因此，我们将时空存量网络作为多层网络的特例，并基于supra-adjacencymatrix分析其特性[19,20]。其实supra-adjacencymatrix的概念已经在参考文献中被用来描述时空网络。[19,21].
下面，论文中定义了这个supra-adjacencymatrix：
这里的centrality是对supra-evolutionmatrix做特征值分解，得到最大的特征值对应的特征向量：
结果及应用
时态股票网络的拓扑分析
在图1中，我们给出了三个市场的PMFG网络的拓扑参数的时间演化。就美国股市而言，PMFG网络的拓扑结构对年次贷危机做出了反应，在此期间，Jaccard指数大幅下跌。这意味着市场经历了一个极其不稳定的时期，出现了剧烈的结构变化。对于英国市场，欧债危机期间，聚集系数C和最短路径长度L均有所下降。危机期间，PMFG网络的异质性指数γ显著增加。年次贷危机后，美国和英国市场的模式非常相似。特别是欧洲主权债务危机期间，始于年，这正是年全球金融危机的余波。聚集系数和最短路径长度的减小使得这两个市场具有很强的异质性。这与先前的研究一致，该研究表明市场倾向于形成局部集群和全球扩张结构[23]。基于关联的网络在金融危机期间的反应已经被系统地调查[23–29]。
我们还发现，年之前中国股市的异质性指数明显较小，聚类系数C较高，最短路径长度l较长，可知无标度网络的异质性值γ为0.11。西方市场比无标度网络更为异质，它们比中国市场要异质得多。年以前中国市场的同质性结构表明中国市场与西方市场相比具有完全不同的结构。年至年，中国股市经历了长期熊市。在此期间，市场异质性急剧增加。这意味着市场试图摆脱指数或市场趋势的支配，这可能是由于投资者的风险分散或市场变得成熟。
虽然我们可以从这些拓扑参数的变化中获得一些信息，但这些量都受到非常不稳定的市场状态和强噪声的影响。这些拓扑量的演化表明市场总是随时间演化的。应当考虑股票市场的时间特性，并将其纳入实际应用。在下一节中，我们试图利用股票市场的时间属性来提高投资组合优化程序的性能。
图1。三个市场的PMFG网络拓扑量的时间演化。第一列是标准普尔指数成分股票的PMFG网络的拓扑量。第二列是富时成分股PMFG网络的拓扑量。第三列是上证成分股PMFG网络的拓扑量。第一行是三个市场的聚集系数C。第二行是三个市场的最短路径长度L。第三行是三个市场的异质性指数γ。最后一行是三个市场的Jaccard指数J。
投资组合优化
这一部分实际上是从两种平行的方法（mean-variance和expectedshortfall）出发，研究基于时变股票网络指标选出来的portfolio会不会比不考虑时变特性的复杂网络指标要好。
均值-方差投资组合优化
我们首先在Markowitz投资组合优化框架[30]下使用PMFG网络来改进投资组合优化的性能。有很多工作试图建立基于相关网络和投资组合优化问题之间的联系[31–33]。现在我们简要介绍一下马科维茨投资组合理论。考虑一个有m只股票的投资组合，回报ri，i=1...m.投资组合的收益φ(t)为：
风险为：
到目前为止，我们还没有说明如何确定构成股票的一个具体的投资组合。如前所述，我们使用一些中心性指标从PMFG网络中选择投资组合。结果表明，对于静态PMFG网络，通过使用一些复合中心性度量选择的投资组合的性能是相当好的[12，34]。在这里，我们试图为不同的股票市场选择由时间PMFG网络的时间特征向量中心性测度引导的投资组合。使用中心(外围)股票构建的投资组合是由具有较高(较低)中心性值的股票组成的投资组合。为了进行比较，我们还执行了基于聚合网络的投资组合优化程序[16]。对于聚合网络，我们使用参考文献中的复合中心性度量。[12]对股票进行排名。相反，在时间股票网络中，股票根据等式(1)给出的时间中心性来排名。(11)。为了验证投资组合表现的稳健性，我们对这些时态投资组合进行了样本内和样本外测试。
图2示出了对于聚集和时间股票网络两者由具有30个最高中心性股票和30个最低中心性股票的那些股票构造的投资组合的样本内有效前沿。第一行代表了三个没有卖空行为的市场的有效前沿。第二行代表允许卖空的三个市场的有效前沿。此处，在样本内测试期间，使用整个数据集(分别具有来自美国、英国和中国的、和个记录)来构建时间网络，并且还使用整个数据集来执行投资组合优化。实线为根据时间PMFG网络的特征向量中心性选择的投资组合。虚线代表聚合网络的投资组合。通过组合时间网络[16]的所有时间片中的所有顶点和边来构造聚集网络。红色(蓝色)的实线和虚线代表的是中心(外围)股票的投资组合。很明显，三个市场的外围投资组合的表现都比中心投资组合好得多。这与之前的研究完全一致。同时，时态网络(实线)的投资组合的样本内表现也优于由聚合网络(虚线)构造的投资组合。样本中整体表现最好的股票来自基于时态网络和外围股票构建的投资组合(蓝色实线)。与其他投资组合相比，这些投资组合的回报最高，风险最低。
我们还执行了抽样外测试，以检查时态网络投资组合的稳健性。在图3中，我们为时态投资组合执行了outofsample测试。首先，我们分别使用美国、英国和中国市场的前3、和1个数据点来构建时间网络。在时间中心性的指导下，我们可以构造中心和外围投资组合。然后，使用下一个个数据点来执行投资组合优化过程。结果与样品测试中的结果非常相似。时变股票网络中外围投资组合相对于中央投资组合具有一致的良好表现。一个非常有趣的现象是，无论是在样本测试中还是在样本外，英国市场的中央投资组合总是具有非常高的风险。即使风险容忍度参数q非常小，中央投资组合也无法获得低于某一特定风险水平的风险。这意味着英国市场的中央股票风险极高，投资者应明确避免此类风险。
上述投资组合优化结果证明了时间中心性度量的有用性。在处理时间演化系统时，应考虑基于相关性的网络的时间属性。
预期差额法
除了均值-方差框架外，预期缺口(ES)是量化投资组合表现的更现代的工具，也是一个连贯的风险度量[35–37]。
ESα给出了在投资组合的最差情况下产生的预期损失。它满足风险度量的所有要求。对于投资组合{ωi，i=1，...，m}个具有回报{ri，i=1，...，m}，我们希望在正规化1的约束下最小化投资组合的ESα。这里，我们为投资组合的预期缺口ESα设置置信水平α=95%，并假设禁止卖空。根据上一小节中描述的中心性得分对股票进行排名后，我们选择投资组合规模m=5、10，...、55、60，即具有最大(最小)中心性分数的m个中心(外围)股票。
图4给出了三个股票市场的预期短缺样本。红色(蓝色)线代表中央(外围)投资组合的预期不足。实线(虚线)对应于时间(聚集的)网络。显然，外围投资组合的预期缺口要比中心投资组合小得多。参考文献中给出了一个参数。[33]其中相关矩阵可被识别为加权完全连通网络。最优投资组合的权重与网络的特征向量中心度之间存在负相关。较低的外围投资组合的预期不足验证了这一论点。同时，作为投资组合选择工具的时间中心性在m=60个投资组合规模时表现甚至优于静态聚合网络中心性。
在图5中，还对三个市场进行了样本外测试。用于样本外测试的数据集与上一小节完全相同。除美国市场中规模m相对较小的暂时性投资组合外，三个市场中规模m=60的周边投资组合均表现较好，预期不足率较低。我们认为，时间投资组合的持续良好表现源于时间中心性的时间平均属性。它可以削弱市场大波动的影响，因此，它可以用来构建更稳健和风险多元化的投资组合[34，38，39]。
图2。三个不同股票市场的样本有效前沿。左列、中列和右列分别是标准普尔指数、富时指数和上证指数的结果。红线代表的是从时态(后缀-temp)和聚合(后缀-agg)网络的中心性分数(central)较高的股票构建的投资组合的结果。蓝线代表的是那些由低中心性分数(外围)股票构建的投资组合的结果。这里投资组合规模m=30。我们测试了从m=5到m=60的投资组合规模，结果是一致的。(有关本图图例中颜色参考的解释，读者可参考本文的web版本。)
图3。三个不同股票市场的样本外有效前沿。左列、中列和右列分别是SP、FTSE和SSE的结果。红线代表的是从时态(后缀-temp)和聚合(后缀-agg)网络的中心性分数(central)较高的股票构建的投资组合的结果。蓝线代表的是那些由低中心性分数(外围)股票构建的投资组合的结果。这里投资组合规模m=30。我们测试了从m=5到m=60的投资组合规模，结果是一致的。(有关本图图例中颜色参考的解释，读者可参考本文的web版本。
图4。样本中的数据反映了三个股市的预期缺口。左列、中列和右列分别是标准普尔指数、富时指数和上证指数的结果。红线(蓝线)是由中心(外围)股票构建的投资组合的预期缺口。实线是时间网络的预期不足。虚线表示聚合(后缀-agg)网络，实心留置权表示时态(后缀-temp)网络。(有关本图图例中颜色参考的解释，读者可参考本文的web版本。
图5。样本之外的公司预计有三个股市将出现下跌。左列、中列和右列分别是标准普尔指数、富时指数和上证指数的结果。红线(蓝线)是由中心(外围)股票构建的投资组合的预期缺口。(有关本图图例中颜色参考的解释，读者可参考本文的web版本。
结论
总之，我们使用时间网络框架来分析三个主要股票市场的时间演变。三个市场的相关网络的拓扑演化给出了每个市场中相应金融动荡的一些信号。借助于时间中心性测度，我们可以构造一些高收益、低风险的风险分散投资组合。在均值-方差和预期shortfall两个框架下，以时间和静态中心性测度衡量的外围股票构建的投资组合的业绩均优于以中心股票构建的投资组合。此外，在均值-方差和预期缺口评估标准下，在时间中心性度量的指导下选择的那些外围投资组合的表现远好于其他投资组合(时间中心性投资组合和合计外围投资组合)。样本内和样本外测试都验证了时序外围投资组合的稳健性。这是首次用时间网络理论分析基于时间演化相关的网络。时间中心性度量在投资组合选择中的应用揭示了基于相关性的股票市场网络的时间属性的重要性。因此，利用为时态网络开发的其他工具来研究基于相关性的网络的时态结构应该是相当有趣的[16]。同时，利用复杂网络理论中的其他工具，如社区发现[23，40–43]和网络逾渗理论[44]对金融系统中基于相关性的网络进行研究，也是很有前景的方向。这些都有待于今后的研究。
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